【題目】正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 2,且AC 與BD 交于點(diǎn)O,E 為棱DD1 中點(diǎn),以A 為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz,如圖所示.
(Ⅰ)求證:B1O⊥平面EAC;
(Ⅱ)若點(diǎn)F 在EA 上且B1F⊥AE,試求點(diǎn)F 的坐標(biāo);
(Ⅲ)求二面角B1-EA-C 的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
證明:(I) 由題設(shè)知下列各點(diǎn)的坐標(biāo)A(0, 0, 0),B(2, 0, 0),C (2, 2, 0),
D (0, 2, 0),E (0, 2, 1),B1(2, 0, 2).
∵O是正方形ABCD的中心,∴O (1, 1, 0).
∴= (-1, 1, -2),= (2, 2, 0),= (0,2, 1).
∴·= (-1, 1, -2)·(2, 2, 0)
= -1·2 + 1·2-2·0 = 0.
·= (-1, 1, -2)·(0, 2, 1)
= -1·0 + 1·2-2·1 = 0.
∴
即B1O ⊥AC,B1O⊥AE,
∴B1O⊥平面ACE.
(II) 由F點(diǎn)在AE上,可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為F (0, 2l,l),
則= (-2, 2l,l-2).
= (-2, 2l,l-2)·(0, 2, 1) = 5l-2 = 0,
∴l= ,
∴.
(III) ∵B1O⊥平面EAC,B1F⊥AE,連結(jié)OF,由三垂線定理的逆定理得OF⊥AE.
∴∠OFB1即為二面角B1-EA-C的平面角.
∴=
又=,
∴= = .
在Rt△B1OF中,sin∠B1FO= = .
故二面角B1-EA-C的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若實(shí)數(shù)為整數(shù),且對任意的時(shí),都有恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】眾所周知,城市公交車的數(shù)量太多會(huì)造成資源的浪費(fèi),太少又難以滿足乘客的需求,為此,某市公交公司在某站臺(tái)的50名候車乘客中隨機(jī)抽取10名,統(tǒng)計(jì)了他們的候車時(shí)間(單位:分鐘),得到下表.
候車時(shí)間 | 人數(shù) |
1 | |
4 | |
2 | |
2 | |
1 |
(1)估計(jì)這10名乘客的平均候車時(shí)間(同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);
(2)估計(jì)這50名乘客的候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知數(shù)列為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為.若,試分別比較與、與的大小關(guān)系.
(2)已知數(shù)列為等差數(shù)列,的前n項(xiàng)和為.證明:若存在正整數(shù)k,使,則.
(3)在等比數(shù)列中,設(shè)的前n項(xiàng)乘積,類比(2)的結(jié)論,寫出一個(gè)與有關(guān)的類似的真命題,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)商功》中闡述:“斜解立方,得兩塹堵.斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑.陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也.合兩鱉臑三而一,驗(yàn)之以棊,其形露矣.”若稱為“陽馬”的某幾何體的三視圖如圖所示,圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,對該幾何體有如下描述:
①四個(gè)側(cè)面都是直角三角形;
②最長的側(cè)棱長為;
③四個(gè)側(cè)面中有三個(gè)側(cè)面是全等的直角三角形;
④外接球的表面積為24π.
其中正確的描述為____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正四面體ABCD的體積為1,O為其中心,正四面體EFGH與正四面體ABCD關(guān)于點(diǎn)O對稱,則這兩個(gè)正四面體的公共部分的體積為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C以點(diǎn)為圓心,且被直線截得的弦長為.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn),且與圓C相切,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形為邊長為2的菱形, 為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且, , .
(1)若, 分別為, 的中點(diǎn),求證: 平面;
(2)若, 與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】早在一千多年之前,我國已經(jīng)把溢流孔用于造橋技術(shù),以減輕橋身重量和水流對橋身的沖擊,現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的4個(gè)溢流孔,橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分,且四個(gè)溢流孔輪廓線相同.根據(jù)圖上尺寸,在平面直角坐標(biāo)系中,橋拱所在拋物線的方程為_______,溢流孔與橋拱交點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.
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