Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，E為PA中點(diǎn)，過E作平行于底面的面EFGH分別與另外三條側(cè)棱交于F，G，H，已知底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°
（1）求異面直線AF，BG所成的角的大�。�
（2）設(shè)面APB與面CPD所成的銳二面角的大小為θ，求cosθ．

Answer 1

解：由題意可知，AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，由平面幾何知識知：
AD=4，D（0，4，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），
F（1，0，1），G（1，1，1）…（2分）
（1），
∴
∴．…（4分）
（2）∵AD⊥平面APB，
∴平面APB的法向量為=（0，1，0）
設(shè)平面CPD的法向量為，

∴=（1，1，2）．…（10分）
∴，
…（12分）
分析：由題意可知，AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出圖中各點(diǎn)坐標(biāo)
（1）求出異面直線AF，BG的方向向量，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，兩個向量垂直，易得異面直線AF，BG所成的角的大小為；
（2）求出平面APB的法向量為和設(shè)平面CPD的法向量為，代入向量夾角公式，可得面APB與面CPD所成的銳二面角的大�。�
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間線線夾角及二面角問題轉(zhuǎn)化為空間向量夾角問題，是解答本題的關(guān)鍵．