Question

已知a_n+1=

an-6

an+6

，a₁=2，求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)bn=

an+2

an+3

，則bn+1=

an+1+2

an+1+3

=

an-6 an+6 +2

an-6 an+6 +3

=

3an+6

4an+12

=

3

4

bn．由此能求出{b_n}是首項(xiàng)為

4

5

，公比為

3

4

的等比數(shù)列，從而能求出a_n．

解答： 解：∵a_n+1=

an-6

an+6

，a₁=2，設(shè)bn=

an+2

an+3

∴bn+1=

an+1+2

an+1+3

=

an-6 an+6 +2

an-6 an+6 +3

=

3an+6

4an+12

=

3

4

bn．
又b1=

a1+2

a1+3

=

4

5

，
{b_n}是首項(xiàng)為

4

5

，公比為

3

4

的等比數(shù)列，
∴b_n=

an+2

an+3

=

4

5

•(

3

4

)n-1，
解得a_n=

3• 4 5 •( 3 4 )n-1-2

2- 4 5 •( 3 4 )n-1

=

6•( 3 4 )n-1-5

5-2( 3 4 )n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．