(1)已知拋物線y2=2Px(P>0),過焦點F的動直線l交拋物線于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,求證:·為定值;

(2)由(1)可知:過拋物線的焦點F的動直線l交拋物線于A,B兩點,存在定點P,使得·為定值.請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.

(1)證法一:若直線l垂直于x軸,則A(,p),B(,-p).

·=()2-p2=-.                                                                              ?

若直線l不垂直于x軸,設(shè)其方程為y=k(x-),A(x1,y1),B(x2,y2),?

k2x2-p(2+k2)x+k2=0.?

x1+x2=,x1x2=.                                                                                 ?

·=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-)(x2-)??

=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+?

=(1+k2)-·+=-.?

綜上,·=-為定值.                                                                          ?

證法二:設(shè)直線l的方程為x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2).                                        ?

y2-2pmy-p2=0.?

y1+y2=2pm,y1y2=-p2.                                                                                             ?

·=x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2?

=(1+m2)y1y2+my1+y2)+ ?

=(1+m2)(-p2)-·2pm=-.?

·=-為定值.                                                                               ?

(2)解:關(guān)于橢圓有類似的結(jié)論:過橢圓=1(AB>0)的一個焦點F的動直線l交橢圓于A,B兩點,存在定點P,使·為定值.                                                           ?

證明:不妨設(shè)直線l過橢圓=1的右焦點F(c,0)(其中c=).

若直線l不垂直于x軸,則設(shè)其方程為y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2).?

得(A2k2+B2)x2-2A2CK2x+(A2c2k2-A2B2)=0.?

所以x1+x2=,x1x2=.                                                          ?

由對稱性可知,設(shè)點Px軸上,其坐標(biāo)為(M,0).?

所以·=(x1-M)(x2-M)+y1y2?

=(1+k2)x1x2-(M+CK2)(x1+x2)+?M2+c2k2??

=(1+k2)-(M+CK2)+M2+c2k2?

=.?

要使·為定值,只要A4-A2B2-B4+A2M2-2A2cM=A2(M2-A2)?,

M===.?

此時·=M2-A2==.                                      ?

若直線l垂直于x軸,則其方程為x=c,A(c,),B(c,-).?

取點P(,0),?

·=[-c2-=.                                       ?

綜上,過焦點F(c,0)的任意直線l交橢圓于A,B兩點,存在定點P(,0),

使·=為定值.


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(2)由(1)可知:過拋物線的焦點F的動直線l交拋物線于A、B兩點,存在定點P,使得PA·PB為定值.請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.

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