(2)由(1)可知:過拋物線的焦點F的動直線l交拋物線于A,B兩點,存在定點P,使得·為定值.請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.
(1)證法一:若直線l垂直于x軸,則A(,p),B(,-p).
·=()2-p2=-. ?
若直線l不垂直于x軸,設(shè)其方程為y=k(x-),A(x1,y1),B(x2,y2),?
由得k2x2-p(2+k2)x+k2=0.?
∴x1+x2=,x1x2=. ?
∴·=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-)(x2-)??
=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+?
=(1+k2)-·+=-.?
綜上,·=-為定值. ?
證法二:設(shè)直線l的方程為x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2). ?
由得y2-2pmy-p2=0.?
∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2. ?
∴·=x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2?
=(1+m2)y1y2+my1+y2)+ ?
=(1+m2)(-p2)-·2pm=-.?
∴·=-為定值. ?
(2)解:關(guān)于橢圓有類似的結(jié)論:過橢圓=1(A>B>0)的一個焦點F的動直線l交橢圓于A,B兩點,存在定點P,使·為定值. ?
證明:不妨設(shè)直線l過橢圓=1的右焦點F(c,0)(其中c=).
若直線l不垂直于x軸,則設(shè)其方程為y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2).?
由得(A2k2+B2)x2
所以x1+x2=,x1x2=. ?
由對稱性可知,設(shè)點P在x軸上,其坐標(biāo)為(M,0).?
所以·=(x1-M)(x2-M)+y1y2?
=(1+k2)x1x2-(M+CK2)(x1+x2)+?M2+c2k2??
=(1+k2)-(M+CK2)+M2+c2k2?
=.?
要使·為定值,只要A4-A2B2-B4+A
即M===.?
此時·=M2-A2==. ?
若直線l垂直于x軸,則其方程為x=c,A(c,),B(c,-).?
取點P(,0),?
有·=[-c]2-=. ?
綜上,過焦點F(c,0)的任意直線l交橢圓于A,B兩點,存在定點P(,0),
使·=為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x2 | a2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2)由(1)可知:過拋物線的焦點F的動直線l交拋物線于A、B兩點,存在定點P,使得PA·PB為定值.請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.
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