Question

1．19、如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=4，四邊形ADE₁F₁是正方形，且平面ADE₁F₁⊥平面ABCD，M是E₁C的中點(diǎn)．
（1）證明：BM∥平面ADE₁F₁；
（2）求三棱錐D-BME₁的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)條件求出三棱錐的高，利用三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：取E₁D的中點(diǎn)N，連接MN，AN，在△E₁DC中，M，N分別為E₁C，E₁D的中點(diǎn)，
∴MN∥CD，MN=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴MN∥AB，MN=AB．
則四邊形ABMN是平行四邊形，則BM∥AN，
∵AN?平面ADE₁F₁，BM?平面ADE₁F₁，
∴BM∥平面ADE₁F₁．
（2）由平面ADE₁F₁⊥平面ABCD，E₁D?平面ADE₁F₁，平面ADE₁F₁∩平面ABCD=AD，E₁D⊥AD，
E₁D⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，E₁D∩CD=D，
∴AD⊥平面E₁DC，
∵AB∥CD，CD?平面E₁DC，AB?平面E₁DC，
∴AB∥平面E₁DC，
則B到平面E₁DC的距離就是A到平面E₁DC的距離，即B到平面E₁DC的距離是AD，
由${S}_{△{E}_{1}DM}=\frac{1}{2}{E}_{1}D•（\frac{CD}{2}）$=$\frac{1}{2}×2×2=2$，
則${V}_{D-{E}_{1}MB}={V}_{B-{E}_{1}DM}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{E}_{1}DM}$•AD=$\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$，
即三棱錐D-BME₁的體積V=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行的判定以及三棱錐體積的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及三棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．