Question

已知數(shù)列的前n項和為S_n，數(shù)列是首項為0，公差為的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設，對任意的正整數(shù)k，將集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為d_k，求d_k；
（3）對（2）題中的d_k，設A（1，5d₁），B（2，5d₂），動點M，N滿足，點N的軌跡是函數(shù)y=g（x）的圖象，其中g（x）是以3為周期的周期函數(shù)，且當x∈（0，3]時，g（x）=lgx，動點M的軌跡是函數(shù)f（x）的圖象，求f（x）．

Answer 1

解：（1）由條件得，即
所以．
（2）由（1）可知，
所以，．
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1g（x），b_2k+1依次成遞增的等差數(shù)列，
所以．
（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即==（1，12）
當3m＜x≤3（m+1）（m∈Z）時，g（x）=lg（x-3m），（0＜x-3m≤3），
由y=g（x）是以3為周期的周期函數(shù)得，g（x）=g（x-3m）=lg（x-3m），
設M（x，y）是函數(shù)圖象上的任意點，并設點N的坐標為（x_N，y_N），
則．
而y_N=lg（x_N-3m），（3m＜x_N≤3m+3（m∈Z）），
于是，y+12=lg（x+1-3m），（3m＜x+1≤3m+3（m∈Z）），
所以，f（x）=lg（x+1-3m）-12，（3m-1＜x≤3m+2（m∈Z））．
分析：（1）由條件得，再根據前n項和與通項之間的關系即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知，從而，．最后由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1g（x），b_2k+1依次成遞增的等差數(shù)列，即可求出公差為d_k；
（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即==（1，12）設當3m＜x≤3（m+1）（m∈Z），有0＜x-3m≤3，由是以3為周期的周期函數(shù)得，g（x）=g（x-3m）=lg（x-3m），再設M（x，y）是函數(shù)圖象上的任意點，并設點N的坐標為（x_N，y_N），利用向量相等得到，從而建立坐標之間的關系，即可求出求f（x）．
點評：本題考查等差數(shù)列、數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉化思想．解題時要認真審題，仔細解答．