Question

9．若函數(shù)滿足f（x）=x，把此時(shí)的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y=f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)y=x^m-3的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是2，求m的值；
（2）若函數(shù)g（x）=x²+（a-4）x-3b是區(qū)間[b-a，b]上的偶函數(shù)
①求a、b的值，并求出這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
②判斷函數(shù)F（x）=g（x+1）-g（x-1）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）利用不動(dòng)點(diǎn)的定義，列出方程求解即可．
（2）①利用偶函數(shù)的定義求解a、b，不動(dòng)點(diǎn)的定義求解不動(dòng)點(diǎn)即可；
②寫出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的奇偶性定義判斷即可．

解答 解：（1）由不動(dòng)點(diǎn)的定義可知：函數(shù)y=x^m-3的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是2，
可得：2^m-3=2，解得m=log₂5．
（2）若函數(shù)g（x）=x²+（a-4）x-3b是區(qū)間[b-a，b]上的偶函數(shù)，
①可得：a-4=0，b-a=-b，解得a=4、b=2，由x²-6=x，可得x=-2，x=3∉[-2，2]舍去，
這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為x=-2；
②函數(shù)F（x）=g（x+1）-g（x-1）=（x+1）²-6-（（x-1）²-6）=4x．
F（-x）=-4x=-F（x），
函數(shù)是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，新定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．