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已知命題p:?x∈R,使得k+|x-2|≥|x-1|;命題q:?x,y∈R+且x+y=1,有xyk≤x+4y.若p∧q為真,則實數k的取值范圍是( 。
分析:本題考查復合命題,解決的方法是:將k+|x-2|≥|x-1|和xyk≤x+4y分別變形后求出k的取值范圍,最后求交集.
解答:解:命題p:?x∈R,使得k+|x-2|≥|x-1|成立,
∴有:?x∈R,k≥|x-1|-|x-2|成立,
∴只須:k大于等于(|x-1|-|x-2|)的最小值即可,
而由絕對值的幾何意義可知|x-1|-|x-2|表示數軸上的點到1和2的距離之差,
由上圖分析得:當實數x在數軸上移動時有:-1≤|x-1|-|x-2|≤1,
即:k≥-1.
命題q:?x,y∈R+且x+y=1,有xyk≤x+4y,
∴有:k≤
x+4y
xy
對?x,y∈R+且滿足x+y=1的實數x、y成立,
∴只須:k小于等于
x+4y
xy
的最小值即可,
x+4y
xy
=
x
xy
+
4y
xy
=
1
y
+
4
x
=
x+y
y
+
4(x+y)
x
=
x
y
 +1+4+
4y
x
=5+
x
y
+
4y
x
≥5+ 2
x
y
4y
x
= 9

即:k≤9.
又∵p∧q為真,
∴命題p和命題q均為真命題,
∴應有
k≥-1
k≤9
,解得:-1≤k≤9,即:[-1,9].
故選A.
點評:本題以復合命題的真假為載體,主要考查絕對值的幾何意義及不等式求函數的最值的掌握情況,要做到熟練掌握.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知命題p:“?x∈R*,x>
1x
”,命題p的否定為命題q,則q是“
 
”;q的真假為
 
.(填“真”或“假”)

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科目:高中數學 來源: 題型:

下列結論:
①已知命題p:?x∈R,tanx=1;命題q:?x∈R,x2-x+1>0.則命題“p∧?q”是假命題;
②函數y=
|x|
x2+1
的最小值為
1
2
且它的圖象關于y軸對稱;
③“a>b”是“2a>2b”的充分不必要條件;
④在△ABC中,若sinAcosB=sinC,則△ABC中是直角三角形.
⑤若tanθ=2,則sin2θ=
4
5

其中正確命題的序號為
①④⑤
①④⑤
.(把你認為正確的命題序號填在橫線處)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知命題p:?x∈R,cosx≤1,則?p命題是
?x∈R,cosx>1
?x∈R,cosx>1

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知命題p:?x∈R,使tanx=1,命題q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列結論:
①命題“p∧q”是真命題;
②命題“p∧¬q”是假命題;
③命題“¬p∨q”是真命題;
④命題“¬p∨¬q”是假命題.
其中正確的是
①②③④
①②③④
(填序號).

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知命題p:?x∈R,2x<3x;命題q:?x∈R,2x≥1+x2,則下列命題中為真命題的是(  )

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