分析 (1)求導(dǎo)數(shù),確定切線的斜率,可得曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線方程;
(2)求導(dǎo),分類(lèi)討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論f(x)的單調(diào)性.
解答 解:(1)k=2時(shí),f(x)=ln(1+x)-x+x2,f′(x)=11+x-1+2x
由于f(1)=ln(2),f′(1)=32,
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為
y-ln2=32(x-1).即3x-2y+2ln2-3=0
(2)f'(x)=x(kx+k−1)1+x,x∈(-1,+∞)
當(dāng)k=0時(shí),f′(x)=-x1+x,
因此在區(qū)間(-1,0)上,f'(x)>0;在區(qū)間(0,+∞)上,f'(x)<0;
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)0<k<1時(shí),f′(x)=x(kx+k−1)1+x=0,得x1=0,x2=1−kk>0;
因此,在區(qū)間(-1,0)和(1−kk,+∞)上,f'(x)>0;在區(qū)間(0,1−kk)上,f'(x)<0;
即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)和(1−kk,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1−kk);
當(dāng)k=1時(shí),f′(x)=x21+x.f(x)的遞增區(qū)間為(-1,+∞)
當(dāng)k>1時(shí),由f′(x)=x(kx+k−1)1+x=0,得x1=0,x2=1−kk∈(-1,0);
因此,在區(qū)間(-1,1−kk)和(0,+∞)上,f'(x)>0,在區(qū)間(1−kk,0)上,f'(x)<0;
即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1−kk)和(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1−kk,0).
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | k>1 | B. | k<1 | C. | k≥1 | D. | k≤1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
x | 35 | 40 | 45 | 50 |
y | 56 | 41 | 28 | 11 |
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