Question

9．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x+$\frac{1}{2}$kx²．
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線方程；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，可得曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線方程；
（2）求導(dǎo)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）k=2時(shí)，f（x）=ln（1+x）-x+x²，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1+2x
由于f（1）=ln（2），f′（1）=$\frac{3}{2}$，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為
y-ln2=$\frac{3}{2}$（x-1）．即3x-2y+2ln2-3=0
（2）f'（x）=$\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$，x∈（-1，+∞）
當(dāng)k=0時(shí)，f′（x）=-$\frac{x}{1+x}$，
因此在區(qū)間（-1，0）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，f′（x）=$\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$=0，得x₁=0，x₂=$\frac{1-k}{k}$＞0；
因此，在區(qū)間（-1，0）和（$\frac{1-k}{k}$，+∞）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（0，$\frac{1-k}{k}$）上，f'（x）＜0；
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）和（$\frac{1-k}{k}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1-k}{k}$）；
當(dāng)k=1時(shí)，f′（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+x}$．f（x）的遞增區(qū)間為（-1，+∞）
當(dāng)k＞1時(shí)，由f′（x）=$\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$=0，得x₁=0，x₂=$\frac{1-k}{k}$∈（-1，0）；
因此，在區(qū)間（-1，$\frac{1-k}{k}$）和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在區(qū)間（$\frac{1-k}{k}$，0）上，f'（x）＜0；
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，$\frac{1-k}{k}$）和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{1-k}{k}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．