Question

14．已知函數(shù)f（x）定義域為R，若存在常數(shù)c＞0，對?x∈R都有f（x+c）＞f（x-c），則稱f（x）具有性質(zhì)P，給定三個函數(shù)①f（x）=|x|，②f（x）=sinx，③f（x）=x³-x．其中具有性質(zhì)P的函數(shù)的序號是③．

Answer 1

分析 ①因為f（x）=|x|不是R上的增函數(shù)，不具有具有性質(zhì)P；②因為f（x）=sinx的最小正周期為2π，不是在R上的增函數(shù)，不具有性質(zhì)P；③求導(dǎo)數(shù)可得：函數(shù)在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）內(nèi)遞減，要想滿足f（x+c）＞f（x-c），只須c＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 就可說明具有性質(zhì)P．

解答 解：①∵f（x）=|x|不是R上的增函數(shù)，
∴不滿足f（x+c）＞f（x-c），
故此函數(shù)f（x）不具有具有性質(zhì)P；
 ②∵f（x）=sinx的最小正周期為2π，不是在R上的增函數(shù)，
∴不滿足f（x+c）＞f（x-c），
故此函數(shù)f（x）不具有性質(zhì)P．
③∵f（x）=x³-x，
∴f′（x）=3x²-1，
當f′（x）＞0時，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，f′（x）＜0時，函數(shù)f（x）是遞減函數(shù)．
即在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）內(nèi)遞減，
要想滿足f（x+c）＞f（x-c），只須c＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$就可以了，
不妨取c=1，．
∴存在常數(shù)c=1，滿足f（x+c）＞f（x-c）．
故此函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．
故答案為：③．

點評 本題主要考查新定義，命題真假的判斷，函數(shù)的周期性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．