Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•3^a_n（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=a_n•3^a_n，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n；
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，符合上式．
綜上，a_n=n．
（Ⅱ）b_n=a_n•3^a=n•3ⁿ（n∈N⁺），
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，
-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹，
-2T_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{3}{4}$+（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=$\frac{3}{4}$+（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．