Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=15，a₂=$\frac{43}{3}$，且2a_n+1=a_n+a_n+2．若a_k•a_k+1＜0，則正整數(shù)k=（　�。�

• A． 21
• B． 22
• C． 23
• D． 24

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可知，數(shù)列{a_n}是以15為首項(xiàng)，以$-\frac{2}{3}$為公差的等差數(shù)列，求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列前23項(xiàng)大于0，自第24項(xiàng)起小于0，則答案可求．

解答 解：由2a_n+1=a_n+a_n+2，得a_n+1-a_n=a_n+2-a_n+1，
又a₁=15，a₂=$\frac{43}{3}$，∴${a}_{2}-{a}_{1}=\frac{43}{3}-15=-\frac{2}{3}$，
則數(shù)列{a_n}是以15為首項(xiàng)，以$-\frac{2}{3}$為公差的等差數(shù)列，
∴${a}_{n}=15-\frac{2}{3}（n-1）=\frac{47}{3}-\frac{2}{3}n$．
由a_n＞0，得$\frac{47}{3}-\frac{2}{3}n＞0$，得n$＜\frac{47}{2}$，
∵n∈N^*，∴n≤23．
則使a_k•a_k+1＜0的正整數(shù)k=23．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．