Question

【題目】對于三個實數(shù)、、，若成立，則稱、具有“性質(zhì)”.

（1）試問：①，0是否具有“性質(zhì)2”；

②（），0是否具有“性質(zhì)4”；

（2）若存在及，使得成立，且

，1具有“性質(zhì)2”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，，，為2019個互不相同的實數(shù)，點（）

均不在函數(shù)的圖象上，是否存在，且，使得、

具有“性質(zhì)2018”，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①具有“性質(zhì)2”，②不具有“性質(zhì)4”；（2）；（3）存在.

【解析】

（1）①根據(jù)題意需要判斷的真假即可② 根據(jù)題意判斷是否成立即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)具有性質(zhì)2可求出的范圍，由存在性問題成立轉(zhuǎn)化為 ，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可求解.

（1）①因為，成立,

所以，故，0具有“性質(zhì)2”

②因為，設(shè)，則

設(shè)，

對稱軸為，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，不恒成立，

即不成立，

故（），0不具有“性質(zhì)4”.

（2）因為，1具有“性質(zhì)2”

所以

化簡得

解得或 .

因為存在及，使得成立，

所以存在 及使 即可.

令，則，

當(dāng)時，，

所以在上是增函數(shù)，

所以時，，當(dāng)時，，

故時，

因為在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，

所以，

故只需滿足即可，解得.

（3）假設(shè)具有“性質(zhì)2018”，則，

即證明在任意2019個互不相同的實數(shù)中，一定存在兩個實數(shù),滿足：

.

證明：

由，

令，由萬能公式知，

將等分成2018個小區(qū)間，則這2019個數(shù)必然有兩個數(shù)落在同一個區(qū)間，令其為：，即，

也就是說，在，，，這2019個數(shù)中，一定有兩個數(shù)滿足，

即一定存在兩個實數(shù)，滿足，

從而得證.