(I)證明:取DE中點N,連接MN,AN
在△EDC中,M、N分別為EC,ED的中點,所以MN∥CD,且MN=
CD.
由已知AB∥CD,AB=
CD,所以MN∥AB,且MN=AB.
所以四邊形ABMN為平行四邊形,所以BM∥AN
又因為AN?平面ADEF,且BM?平面ADEF,
所以BM∥平面ADEF;
(II)證明:在矩形ADEF中,ED⊥AD,
又因為平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,可得BC=
在△BCD中,BD=BC=
,CD=2,
因為BD
2+BC
2=CD
2,所以BC⊥BD.
因為BD∩DE=D,所以BC⊥平面BDE,
(Ⅲ)解:取CD中點G,連接MG,則MG∥DE且MG=
∵ED⊥平面ABCD
∴MG⊥平面ABCD
∵BC⊥DB且BC=BD=
∴V
C-MBD=V
M-BCD=
=
.
分析:(I)取DE中點N,連接MN,AN,由三角形中位線定理,結(jié)合已知中AB∥CD,AB=AD=1,CD=2,易得四邊形ABMN為平行四邊形,所以BM∥AN,再由線面平面的判定定理,可得BM∥平面ADEF;
(II)由已知中矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,易得ED⊥平面ABCD,進而ED⊥BC,由勾股定理,我們易判斷出△BCD中,BC⊥BD,由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE;
(Ⅲ)取CD中點G,連接MG,利用V
C-MBD=V
M-BCD,即可求得結(jié)論.
點評:本題考查的知識點是直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,三棱錐體積的計算,熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系(平行和垂直)的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵.