Question

20．已知函數$f（x）=x+\frac{4}{x}$
（1）用函數單調性的定義證明f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數
（2）解不等式：f（x²-2x+4）≤f（7）

Answer 1

分析 （1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據增函數的定義，只需說明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）根據函數的單調性得到x²-2x+4≤7，求出不等式的解集即可．

解答 （1）證明：任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{4{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-4）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
因為2≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上為增函數．
（2）解：∵x²-2x+4≥2，
結合（1）得f（x）在[2，+∞）遞增，
所以x²-2x+4≤7，
解得：-1≤x≤3，
故不等式的解集是[-1，3]．

點評 本題考查函數單調性的證明，屬基礎題，單調性的證明方法主要有：定義法；導數法，要熟練掌握．