Question

某廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本是0.5萬元，每生產(chǎn)100臺，需增加可變成本0.25萬元，市場對該成品的需求是500臺，銷售收入是f（t）=5t-0.5t²萬元（0≤t≤5），其中t 是產(chǎn)品的售出數(shù)量（百臺）．
（1）把年利潤表示為年產(chǎn)量x（x≥0，單位：百臺）的函數(shù)；
（2）年產(chǎn)量為多少時，工廠所得的純利潤最大？

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)年純利潤為y，則當(dāng)0≤x≤5時，y=f（x）-0.25x-0.5，當(dāng)x＞5 時，銷售收入為f（5），年純利潤為y=f（5）-0.25x-0.5，化簡即可；
（2）當(dāng)0≤x≤5時，將函數(shù)y配方，即可得到最大值，當(dāng)x＞5時，由單調(diào)性即可得到范圍．

解答： 解：（1）設(shè)年純利潤為y，
則當(dāng)0≤x≤5時，y=f（x）-0.25x-0.5=-0.5x²+4.75x-0.5，
當(dāng)x＞5 時，銷售收入為f（5），年純利潤為y=f（5）-0.25x-0.5=-0.25x+12，
故函數(shù)關(guān)系式為y=

-0.5x2+4.75x-0.5(0≤x≤5) 12-0.25x(x＞5)

，
（2）當(dāng)0≤x≤5時，y=-0.5（x-4.75）²+10.78125，
故y_max=10.78125，此時x=4.75百臺，
當(dāng)x＞5時，y＜12-0.25×5=10.75，
綜上所述，年產(chǎn)量為475臺時，工廠的年利潤最大．

點評：本題考查分段函數(shù)的運用，考查二次函數(shù)的最值和運用單調(diào)性求范圍，考查運算能力，屬于中檔題．