Question

15．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AB=4，EC∥FD，F(xiàn)D⊥底面ABCD，M是AB的中點．
（1）求證：平面CFM⊥平面BDF；
（2）若點N為線段CE的中點，EC=2，F(xiàn)D=3，求證：MN∥平面BEF．

Answer 1

分析 （1）證明四邊形BCDM是菱形，對角線BD⊥CM，再證明FD⊥CM，即可證明CM⊥平面BDF，從而得平面CFM⊥平面BDF；
（2）過點N作NP∥EF，交DF與點P，連接PM，證明平面PMN∥平面BEF，即可證明MN∥平面BEF．

解答 解：（1）證明：直角梯形ABCD中，AB∥CD，BC=2，AB=4，且M是AB的中點，
∴BM=CD，∴四邊形BCDM是平行四邊形，
又BC=CD=2，∴平行四邊形BCDM是菱形；
∴BD⊥CM，
又FD⊥底面ABCD，CM?平面BCDM，∴FD⊥CM，
且FD∩BD=D，
∴CM⊥平面BDF，
有CM?平面CFM，
∴平面CFM⊥平面BDF；
（2）過點N作NP∥EF，交DF與點P，連接PM，如圖所示；

∵EC∥FD，∴四邊形EFPN是平行四邊形，
又點N為線段CE的中點，EC=2，F(xiàn)D=3，
∴FP=$\frac{1}{2}$EC=1，
PD=EC=2，
∴PE∥CD，且PE=CD，
又BM∥CD，且BM=CD，
∴BM∥PE，且PE=BM，
∴四邊形BEPM為平行四邊形，
∴PM∥BE；
又PM?平面BEF，BE?平面BEF，∴PM∥平面BEF；
同理，PM∥平面BEF，
又PM∩PN=P，PM?平面PMN，PN?平面PMN，
∴平面PMN∥平面BEF，
又MN?平面PMN，∴MN∥平面BEF．

點評 本題主要考查了線面平行，面面平行與垂直的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)熟記空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，是中檔題目．求解