Question

（2008•如東縣三模）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1，M是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB的夾角的余弦值；
（Ⅲ）求面AMC與面BMC夾角的余弦值．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求出A、B、C、D、P、M，的坐標(biāo)
（Ⅰ）通過(guò)證明AP⊥DC．利用AD⊥DC，證明DC⊥面PAD．然后證明面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出與公式y(tǒng)g6d向量，即可利用cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC || PB |

，求AC與PB的夾角的余弦值；
（Ⅲ）在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在使

NC

=λ

MC

，求出λ=

4

5

．說(shuō)明∠ANM為所求二面角的平面角．利用cos＜

AN

，

BN

＞=

AN • BN

| AN || BN |

=-

2

3

，即可求面AMC與面BMC夾角的余弦值．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，

1

2

)．
（Ⅰ）證明：因

AP

=(0，01)，

DC

=(0，1，0)，
所以

AP

•

DC

=0，所以AP⊥DC．
由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：因

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，
故|

AC

| =

2

，|

PB

| =

5

，

AC

•

PB

=2，
所以cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC || PB |

=

10

5

．
（Ⅲ）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在使

NC

=λ

MC

，

NC

=（1-x，1-y，y-z），

MC

=（1，0，-

1

2

），
∴x=1-λ，y=1，z=

1

2

λ，
要使AN⊥MC，只需

AN

•

MC

=0，即x-

1

2

z=0，解得λ=

4

5

．
可知當(dāng)λ=

4

5

時(shí)，N點(diǎn)的坐標(biāo)（

1

5

，1，

2

5

），能使

AN

•

MC

=0，
此時(shí)

AN

= (

1

5

，1，

2

5

)，

BN

= (

1

5

，-1，

2

5

)有

BN

•

MC

=0．
由

AN

•

MC

=0，

BN

•

MC

=0得AN⊥MC，BN⊥MC，
所以∠ANM為所求二面角的平面角．
∵

|AN

|= 

30

5

，

BN

= 

30

5

，

AN

• 

BN

=-

4

5

∴cos＜

AN

，

BN

＞=

AN • BN

| AN || BN |

=-

2

3

所以所求面AMC與面BMC夾角的余弦值為-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直，直線與直線所成的角，平面與平面的二面角的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．