（2012•泉州模擬）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
a2
-13
的一個(gè)特征值為1．
（Ⅰ）求矩陣M的另一個(gè)特征值；
（Ⅱ）設(shè)α=
3
2
，求M5α．
分析：（I）根據(jù)矩陣M的一個(gè)特征值為1，代入特征多項(xiàng)式求出a的值，從而求出另一個(gè)特征值；
（Ⅱ）分別求出特征值所對應(yīng)的特征向量，然后將向量
α
用兩特征向量線性表示，根據(jù)公式M5α=M5（ξ1+ξ2）=λ15ξ1+λ25ξ2進(jìn)行求解即可．
解答：解：（Ⅰ）矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)=
λ-a-2
1λ-3
=（λ-a）（λ-3）+2，…（1分）
又∵矩陣M的一個(gè)特征值為1，
∴f（1）=0，∴a=0，…（2分）
由f（λ）=λ（λ-3）+2=0，得λ1=1，λ2=2，
所以矩陣M的另一個(gè)特征值為2．…（3分）
（Ⅱ）矩陣M的一個(gè)特征值為λ1=1，對應(yīng)的一個(gè)特征向量為ξ1=
2
1
，…（4分）
另一個(gè)特征值為λ2=2，對應(yīng)的一個(gè)特征向量為ξ2=
1
1
，…（5分）
∵α=ξ1+ξ2，
∴M5α=M5（ξ1+ξ2）=15
2
1
+25
1
1
=
34
33
．…（7分）
點(diǎn)評：本題主要考查矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力及函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題．
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（Ⅱ）設(shè)fn（x）的極小值點(diǎn)為Pn（xn，yn），求yn；
（Ⅲ）設(shè)gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，gn（x）的最大值為a，fn（x）的最小值為b，試求a-b的最小值．

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（2012•泉州模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函數(shù)y=f（x）的圖象總在直線y=-
12
的下方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．若a=1，試問：在區(qū)間[1，10]上是否存在k（k＜100）個(gè)正數(shù)x1，x2，x3…xk，使得f′（x1）+f'（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？請證明你的結(jié)論．

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（2012•泉州模擬）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心．研究并利用函數(shù)f（x）=x3-3x2-sin（πx）的對稱中心，可得f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=（　�。�

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