已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
a•2x-2
2(2x+1)
滿足f(0)=0.
(1)求a,f(-2)的值,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并說明理由;
(2)判斷該函數(shù)在R上的單調(diào)性(不要求證明),解不等式f(x2+x)<
3
5
考點(diǎn):指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)奇偶性的判斷
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)直接由f(0)=0求得a的值,得到函數(shù)解析式,求得f(-2)的值,再由函數(shù)奇偶性的判定方法判斷奇偶性;
(2)由函數(shù)解析式f(x)=
2x-1
2x+1
=
2x+1-2
2x+1
=1-
2
2x+1
可判斷函數(shù)為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù),把
3
5
用f(2)代替后利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為二次不等式求解.
解答: 解:(1)∵f(x)=
a•2x-2
2(2x+1)
且f(0)=0,
a•20-2
2(20+1)
=0
,解得a=2.
f(x)=
2(2x-1)
2(2x+1)
=
2x-1
2x+1
,則f(-2)=
2-2-1
2-2+1
=-
3
5

f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
2x
1+2x
2x
=-
2x-1
2x+1
=-f(x),
∴f(x)為定義域內(nèi)的奇函數(shù);
(2)f(x)=
2x-1
2x+1
=
2x+1-2
2x+1
=1-
2
2x+1

f(x)為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù),
由f(x2+x)<
3
5
,得f(x2+x)<
3
5
=f(2),
∴x2+x<2,解得-2<x<1.
∴不等式f(x2+x)<
3
5
的解集為(-2,1).
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì),考查了不等式的解法,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.
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3
4
-3-1+(
2
-1
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