Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）在（1）條件下若a＞1，h（x）=x³-3ax，x∈[1，2]，求h（x）的最小值；
（3）設(shè)F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函數(shù)F（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)m，n（0＜m＜n）且2x=m+n，證明：函數(shù)F（x）在點(diǎn)（x，f（x））處的切線不可能平行于x軸．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將g（x）在（0，+∞）上遞增，轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，最后根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再得出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與單調(diào)性的規(guī)律，得出函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值為h（）；
（3）對(duì)于能否問(wèn)題，可先假設(shè)能，即設(shè)F（x）在（x，F(xiàn)（x））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx結(jié)合題意，列出方程組，證得函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，最后出現(xiàn)矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立，即切線不能否平行于x軸．
解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-ax
∴g'（x）=+2x-a  定義域：（0，+∞）
∴1+2x²-ax≥0在（0，+∞）成立
對(duì)稱(chēng)軸：x=
a≤0時(shí)只要最小值g'（0）=1＞0即可
a＞0時(shí)，g'（）=-+1≥0則≤1
0＜a≤2
綜上a≤2．
（2）由（1）以及條件得：1＜a≤2，
∵h(yuǎn)（x）=x³-3ax，，
∴h'（x）=3（x²-a）=3（x+）（x-），且1＜＜2．
所以當(dāng)1＜x＜時(shí)，h'（x）＜0，即h（x）在（1，）上遞增；
當(dāng)＜x＜2時(shí)．h'（x）＞0，即h（x）在（，2）上遞減．
故h（x）在[1，2]上的最小值為h（）=3a=-2．
（3）設(shè)F（x）在（x，F(xiàn)（x））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx
結(jié)合題意，有
①-②得
所以，由④得
所以
設(shè)，⑤式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181447942683142/SYS201310241814479426831021_DA/28.png">
設(shè)，
所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，
因此，y＜y|_u=1=0，即，也就是，此式與⑤矛盾
所以F（x）在（x，F(xiàn)（x））的切線不能平行于x軸
點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)的值域和最值的常用方法，本題還考查了分類(lèi)討論思想在函數(shù)題中的應(yīng)用，同學(xué)們?cè)谧鲱}的同時(shí)，可以根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的草圖來(lái)加深對(duì)題意的理解．