Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，，點D為AC的中點，點E在線段AA₁上
（I）當AE：EA₁=1：2時，求證DE⊥BC₁；
（Ⅱ）是否存在點E，使二面角D-BE-A等于60°若存在求AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：如圖，

連結DC₁，因為ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，所以△ABC為正三角形，
又因為D為AC的中點，所以BD⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥DE．
因為AE：EA₁=1：2，AB=1，，所以，AD=1，
所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，在Rt△DCC₁中，，
所以，即ED⊥DC₁，
所以ED⊥平面BDC₁，又BC₁?面BDC₁，所以ED⊥BC₁．
（Ⅱ）解：存在點E，使二面角D-BE-A等于60°．
事實上，假設存在點E滿足條件，設AE=h．
取A₁C₁的中點D₁，連結DD₁，則DD_1⊥平面ABC，所以DD₁⊥AD，DD₁⊥BD，
分別以DA、DB、DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，
則A（1，0，0），B（0，，0），E（1，0，h），
所以，，，．
設平面DBE的一個法向量為，
則，，令z₁=1，得x₁=-h，所以，
再設平面ABE的一個法向量為，
則，，令y₂=1，得，所以．
所以=．解得．
故存在點E，當AE=時，二面角D-BE-A等于60°．
分析：（Ⅰ）由D為正三角形ABC的中點，得到BD⊥AC，再由兩面垂直的性質(zhì)得到BD⊥面ACC₁A₁，繼而BD⊥DE，在平面ACC₁A₁中利用解三角形求出∠ADE與∠CDC₁的值，從而得到ED⊥DC₁，則由ED⊥面BDC₁，則DE⊥BC₁；
（Ⅱ）假設存在點E，使二面角D-BE-A等于60°，設出AE的長度，利用二面角的兩個半平面的法向量所成角為60°求出h的值，若h的值在[0，]內(nèi)則說明點E存在，否則不存在．
點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，訓練了存在性問題的求解方法，對于存在性問題，在假設結論成立的前提下進行推理，得到與已知的條件，公理、定理等相符的式子，則假設成立，否則不成立．此題是中檔題．