Question

10．函數(shù)f（x）=x²+$\frac{a}{x}$在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{2{x}^{3}-a}{{x}^{2}}$，由f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)便可得到a≤2x³在x∈（1，+∞）恒成立，而x＞1時(shí)，2x³＞2，這樣即可得出a≤2，從而便可得出實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：$f′（x）=2x-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{2{x}^{3}-a}{{x}^{2}}$；
f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)；
∴f′（x）≥0在x∈（1，+∞）上恒成立；
∴a≤2x³在x∈（1，+∞）上恒成立；
∵x∈（1，+∞）時(shí)，2x³＞2；
∴a≤2；
∴實(shí)數(shù)a的最大值為2．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，由x＞1根據(jù)不等式的性質(zhì)求2x³的范圍，或根據(jù)函數(shù)y=2x³的單調(diào)性求2x³的范圍．