Question

設(shè)雙曲線的右頂點為A，右焦點為F．過點F且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點B，則△AFB的面積為________．

Answer 1

分析：由雙曲線的方程可得a、b的值，進而可得c的值，得到A、F兩點的坐標．因此可得設(shè)BF的方程為y=±（x-5），與雙曲線的漸近方程聯(lián)解得到點B的坐標，即可算出△AFB的面積，得到本題答案．
解答：根據(jù)題意，得a²=9，b²=16，
∴c==5，且A（3，0），F(xiàn)（5，0），
∵雙曲線的漸近線方程為y=±x
∴直線BF的方程為y=±（x-5），
①若直線BF的方程為y=（x-5），與漸近線y=-x交于點B（，-）
此時S_△AFB=|AF|•|y_B|=•2•=；
②若直線BF的方程為y=-（x-5），與漸近線y=x交點B（，）
此時S_△AFB=|AF|•|y_B|=•2•=．
因此，△AFB的面積為
故答案為：
點評：本題給出雙曲線右頂點為A，過右焦點F與一條漸近線平行的直線，交另一條漸近線于B，求△ABF的面積，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)的知識，屬于中檔題．