Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(2，

3

)，且離心率為

3

2

．橢圓上還有兩點P、Q，O為坐標原點，連接OP、OQ，其斜率的積為-

1

4

．
（1）求橢圓方程；
（2）求證：|OP|²+|OQ|²為定值，并求出此定值；
（3）求PQ中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的基本概念，結合題意建立關于a、b的方程組，解出a、b之值即可得到橢圓的方程；
（2）設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），根據(jù)直線的斜率公式化簡k_OP•k_OQ=-

1

4

得x₁x₂=-4y₁y₂．由P、Q兩點在橢圓上，將坐標代入橢圓方程并化簡得y12+y22=8-(

x12

4

+

x22

4

)，兩式聯(lián)解算出

x12+x22

、

y12+y22

之值，即可證出|OP|²+|OQ|²=20（定值）．
（3）設PQ的中點為M（x，y），利用中點坐標公式解出用x₁、x₂、y₁、y₂表示x、y的方程組，結合（2）的結論化簡整理，消去x₁、x₂、y₁、y₂得到PQ中點的軌跡方程．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(2，

3

)，且離心率為

3

2

．
∴

22 a2 + ( 3 )2 b2 =1 e= c a = a2-b2 a2 = 3 2

，解之得a=4，b=2
因此，橢圓的方程為

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得k_OP=

y1

x1

，k_OQ=

y2

x2

∴k_OP•k_OQ=

y1y2

x1x2

=-

1

4

，化簡得x₁x₂=-4y₁y₂，…①
又∵P、Q兩點在橢圓上，可得y12=4-

x12

4

…②，y22=4-

x22

4

…③，
∴②+③可得：y12+y22=8-(

x12

4

+

x22

4

)，
由此得到|OP|2+|OQ|2=x12+x22+y12+y22=8+

3

4

(x12+x22)
根據(jù)①得x12x22=16y12y22，
代入②、③得

x12x22=16(4- x1 4 )(4- x22 4 )

，化簡可得

x12+x22=16

∴|OP|²+|OQ|²=20；
（3）設PQ的中點為M（x，y），可得

2x=x1+x2 2y=y1+y2

，
平方可得

4x2=x12+x22+2x 1x2 4y2=y12+y22+2y1y2

，
將

x12+x22=16

與y12+y22=8-

1

4

x12+x22)=4

代入，可得

4x2=16+2x1x2 4y2=4+2y1y2

，
∴

y1y2

x1x2

=

4x2-16

4y2-4

=-

1

4

，化簡得

x2

8

+

y2

2

=1，即為PQ中點的軌跡方程．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并依此求動點軌跡方程．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線的斜率和直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．