Question

17．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow a$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow b$），且|$\overrightarrow a}$|=$\sqrt{2}$|${\overrightarrow b}$|，則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直的等價條件建立方程關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow a$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow b$），且|$\overrightarrow a}$|=$\sqrt{2}$|${\overrightarrow b}$|，
∴（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow b$）=0，
即$\overrightarrow a$²-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow b$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
即2${\overrightarrow b}$²-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow b$²-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$|${\overrightarrow b}$|${\overrightarrow b}$|cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=0，
則$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=0，
則cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=$\frac{π}{4}$，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查向量夾角的計算，根據(jù)向量垂直的等價條件以及向量數(shù)量積的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．