Question

13．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點為A，經(jīng)過原點的直線l交橢圓C于P、Q兩點，若|PQ|=a，AP⊥PQ，則橢圓C的離心率為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)點P在第一象限，由對稱性可得|OP|=$\frac{|PQ|}{2}$=$\frac{a}{2}$，推導(dǎo)出∠POA=60°，P（$\frac{a}{4}，\frac{\sqrt{3}a}{4}$），由此能求出橢圓的離心率．

解答 解：不妨設(shè)點P在第一象限，由對稱性可得|OP|=$\frac{|PQ|}{2}$=$\frac{a}{2}$，
∵AP⊥PQ，在Rt△POA中，cos∠POA=$\frac{|OP|}{|OA|}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠POA=60°，∴P（$\frac{a}{4}，\frac{\sqrt{3}a}{4}$），
代入橢圓方程得：$\frac{{a}^{2}}{16{a}^{2}}+\frac{3{a}^{2}}{16^{2}}$=1，
∴a²=5b²=5（a²-c²），整理得2a=$\sqrt{5}$c，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．