Question

（選做題）已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程是：

x=- 5 + 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程，直線l的普通方程；
（Ⅱ）將曲線C橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

，再向左平移1個(gè)單位，得到曲線曲線C₁，求曲線C₁上的點(diǎn)到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得C的直角坐標(biāo)方程，將直線l的參數(shù)消去得出直線l的普通方程．
（Ⅱ）曲線C₁的方程為4x²+y²=4，設(shè)曲線C₁上的任意點(diǎn)（cosθ，2sinθ），利用點(diǎn)到直線距離公式，建立關(guān)于θ的三角函數(shù)式求解．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ，得出ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x
即曲線C的方程為（x-2）²+y²=4，直線l的方程是：x-y+2

5

=0…（4分）
（Ⅱ）將曲線C橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

，再向左平移1個(gè)單位，得到曲線C₁的方程為4x²+y²=4，設(shè)曲線C₁上的任意點(diǎn)（cosθ，2sinθ）
到直線l距離d=

|cosθ-2sinθ+2 5 |

2

=

|2 5 - 5 sin(θ+?)|

2

．
當(dāng)sin（θ+φ）=-1時(shí)
到直線l距離的最小值為

10

2

．                           …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線參數(shù)方程求解、應(yīng)用．考查函數(shù)思想，三角函數(shù)的性質(zhì)．屬于中檔題．