Question

14．如圖，O為△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AO}$的值為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 7
• D． 6

Answer 1

分析 可延長(zhǎng)AO交外接圓于點(diǎn)N，并連接BN，CN，從而可得到$∠ABN=\frac{π}{2}，∠ACN=\frac{π}{2}$，而由M為BC中點(diǎn)即可得出$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$，從而有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}）$，顯然$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AN}=|\overrightarrow{AB}{|}^{2}，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}=|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$，從而便可得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AO}$的值．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)AO交△ABC的外接圓于點(diǎn)N，連接BN，CN；

∵M(jìn)為邊BC中點(diǎn)；
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，且$∠ABN=∠ACN=\frac{π}{2}$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AN}$
=$\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}）$
=$\frac{1}{4}（|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AN}|cos∠BAN+|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AN}|cos∠CAN）$
=$\frac{1}{4}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}）$
=5．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形外接圓的定義，圓的直徑對(duì)的圓周角為直角，向量加法的平行四邊形法則，以及余弦函數(shù)的定義，向量數(shù)量積的計(jì)算公式．