Question

【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．

（）求的取值范圍．

（）記兩個(gè)極值點(diǎn)， ，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程在有兩個(gè)不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（2）原式等價(jià)于，令， ，則不等式在上恒成立，令， ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出即可.

試題解析：（）由函數(shù)得的定義域?yàn)?/span>，且，

若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則方程，

即有兩個(gè)不同的根，

即函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

如圖所示：

若令過(guò)原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，只須，

令切點(diǎn)，則，

又，

∴，解得， ，∴，

∴的取值范圍是．

（）因?yàn)?/span>等價(jià)于，

由（）可知， ， 分別是方程的兩個(gè)根，即， ，

所以原式等價(jià)于，

∵， ，

∴原式等價(jià)于，

又由， 作差得，

∴原式等價(jià)于，

∵，原式恒成立，

即恒成立，

令， ，則不等式在上恒成立，

令， ，

則，

當(dāng)時(shí)，可見(jiàn)時(shí)， ，

故在上單調(diào)遞增，

又， 在上恒成立，符合題意；

當(dāng)時(shí)，可見(jiàn)時(shí)， ；

時(shí)， ，

∴在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)減，

又，故在上不可能恒小于，不符合題意，

綜上所述，若不等式恒成立，只須，

又，故．