Question

10．為了研究某學(xué)科成績(jī)是否與學(xué)生性別有關(guān)，采用分層抽樣的方法，從高二年級(jí)抽取了30名男生和20名女生的該學(xué)科成績(jī)，得到如圖所示男生成績(jī)的頻率分布直方圖和女生成績(jī)的莖葉圖，規(guī)定80分以上為優(yōu)分（含80分）．

（Ⅰ）（i）請(qǐng)根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

	優(yōu)分	非優(yōu)分	總計(jì)
男生
女生
總計(jì)			50

（ii）據(jù)列聯(lián)表判斷，能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)10%的前提下認(rèn)為“學(xué)科成績(jī)與性別有關(guān)”？
（Ⅱ）將頻率視作概率，從高二年級(jí)該學(xué)科成績(jī)中任意抽取3名學(xué)生的成績(jī)，求成績(jī)?yōu)閮?yōu)分人數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（n=a+b+c+d）．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算k²的值，判斷即可；（Ⅱ）根據(jù)優(yōu)分人數(shù)X服從二項(xiàng)分布$B（3，\frac{2}{5}）$，求出E（x）即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：

	優(yōu)分	非優(yōu)分	總計(jì)
男生	9	21	30
女生	11	9	20
總計(jì)	20	30	50

K²的觀測(cè)值：$k=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}=\frac{{50×{{（9×9-11×21）}^2}}}{20×30×20×30}=3.125＞2.706$，
所以能在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)10%的前提下認(rèn)為該學(xué)科成績(jī)與性別有關(guān)；  
（Ⅱ）由于有較大的把握認(rèn)為該學(xué)科成績(jī)與性別有關(guān)，
因此可將男女生成績(jī)的優(yōu)分頻率$f=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$視作概率；
從高二年級(jí)中任意抽取3名學(xué)生的該學(xué)科成績(jī)中，
優(yōu)分人數(shù)X服從二項(xiàng)分布$B（3，\frac{2}{5}）$，
P（X=k）=$C_3^k{（\frac{2}{5}）^k}{（\frac{3}{5}）^{3-k}}，k=0，1，2，3$

X	0	1	2	…（10分） 3
p	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

X的分布列為：數(shù)學(xué)期望$E（X）=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了2×2列聯(lián)表，考查二項(xiàng)分布和數(shù)學(xué)期望，是一道中檔題．