Question

下列函數f（x）中，滿足對任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0的是（　�。�

• A、f（x）=（x-1）²
• B、f（x）=

  1

  x

• C、f（x）=e^x
• D、f（x）=ln（x+1）

Answer 1

分析：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，說明對應的函數在（0，+∞）是一個減函數，故問題轉化為判斷四個函數單調性的問題，根據函數的解析式進行判斷即可得到答案．

解答：解：因為對任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，故滿足條件的函數是一個減函數．
對于A，函數f（x）=（x-1）²在（0，1）是減函數，在（1，+∞）上是增函數，故不滿足題意；
對于C，函數f（x）=e^x是一個增函數，故不滿足題意；
對于D，函數f（x）=ln（x+1）在（0，+∞）上是增函數，故不滿足題意；
對于B，函數f（x）=

1

x

是反比例函數，其在（0，+∞）是一個減函數，滿足題意；
故選B．

點評：本題考點是函數的單調性的判斷與證明，考查根據已知的性質選擇具有所給性質的函數的能力，在一些不要求證明函數單調性的問題中，常利用基本函數的單調性來判斷所研究函數的單調性．