Question

f（x）=|x+7|+|x-1|
（1）解不等式f（x）≥10
（2）g（x）=

1

f(x)+m

的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)對(duì)x范圍的分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求得原不等式的解集；
（2）g（x）=

1

f(x)+m

的定義域?yàn)镽，即f（x）+m=0無(wú)解?|x+7|+|x-1|+m＞0在R上恒成立，易求[-f（x）]_max=-8，從而可得m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=|x+7|+|x-1|≥10等價(jià)于以下三個(gè)不等式

2x+6≥10 x＞1

，或

-2x-6≥10 x＜-7

，或

8≥10 -7≤x≤1

…3分
所以x≥2或x≤-8，
原不等式的解集為（-∞，8]∪[2，+∞）…5分
（1）g（x）=

1

f(x)+m

的定義域?yàn)镽，即f（x）+m=0無(wú)解，
即|x+7|+|x-1|+m＞0在R上恒成立，…8分
f（x）=|x+7|+|x-1|≥|（x+7）-（x-1）|=8，
所以-f（x）≤-8，即[-f（x）]_max=-8，
所以m＞[-f（x）]_max=-8，…10分
所以m的取值范圍為（-8，+∞）…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，通過(guò)對(duì)x范圍的分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．