Question

已知f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，n總有：f（m+n）=f（m）•f（n）且x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）證明：f（0）=1且x＜0時(shí)f（x）＞1；
（2）當(dāng)f（4）=

1

16

，求使f（x²-1）•f（a-2x）≤

1

4

對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中，取m＞0，n=0，可求f（0）=1；設(shè)m=x＜0，n=-x＞0，可得f（x）=

1

f(-x)

＞1；
（2）確定f（x）是定義域R上的單調(diào)遞減函數(shù)，f（x²-1）•f（a-2x）≤

1

4

對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為x²-1+a-2x≥2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：在f（m+n）=f（m）•f（n）中，取m＞0，n=0，有f（m）=f（m）•f（0），
∵x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，∴f（0）=1
又設(shè)m=x＜0，n=-x＞0，則0＜f（-x）＜1，
∴f（m+n）=f（0）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（x）=

1

f(-x)

＞1，即x＜0時(shí)，f（x）＞1
（2）解：f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，f（0）=1，f（4）=

1

16

，
∴f（x）是定義域R上的單調(diào)遞減函數(shù)．
f（4）=f²（2）=

1

16

，且由（1）可知f（x）＞0，
∴f（2）=

1

4

，
∵f（x²-1）•f（a-2x）≤

1

4

對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∴x²-1+a-2x≥2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∴△=4-4（a-3）≤0，
∴a≥4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查恒成立，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．