Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC與BD相交于點O．
（Ⅰ）求證：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若M是PB上的一點，且CM⊥PB，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC與BD相交于點O，根據(jù)平行四邊形兩條對角線互相平分及等腰三角形三線合一，結(jié)合線面垂直的判定定理，我們易得到結(jié)論．
（II）以O為坐標原點，建立坐標系，分別求出各頂點坐標，進而求出直線 PB的方向向量與平面PCD的法向量，代入線面夾角的向量法公式，即可求出答案．
（III）設出M點的坐標，并由由M是PB上的一點，且CM⊥PB，我們易構(gòu)造方程組，求出M點的坐標，進而代入向量模的計算公式，計算出的值．
解答：（Ⅰ）證明：因為ABCD為菱形，
所以O為AC，BD的中點（1分）
因為PB=PD，PA=PC，
所以PO⊥BD，PO⊥AC
所以PO⊥底面ABCD（3分）
（Ⅱ）解：因為ABCD為菱形，所以AC⊥BD
建立如圖所示空間直角坐標系
又∠ABC=60°，PA=AB=2
得（4分）
所以，，（5分）
設平面PCD的法向量
有
所以解得
所以（8分）（9分）
PB與平面PCD所成角的正弦值為（10分）
（Ⅲ）解：因為點M在PB上，所以
所以，
因為CM⊥PB
所以 ，得3λ+λ-1=0解得
所以（14分）
點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中選擇合適的點及坐標軸方向，建立空間坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為一個向量問題是解答此類問題的關(guān)鍵．