Question

18．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}$+2）的最小值是16；$\frac{ab}{2{a}^{2}+1}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}$+2）=（$\frac{a+b}{a}$+2）（$\frac{a+b}$+2），從而求最小值；化簡(jiǎn)$\frac{ab}{2{a}^{2}+1}$=$\frac{ab}{2{a}^{2}+（a+b）^{2}}$=$\frac{1}{3\frac{a}+\frac{a}+2}$，從而求最大值．

解答 解：（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}$+2）
=（$\frac{a+b}{a}$+2）（$\frac{a+b}$+2）
=（$\frac{a}$+3）（$\frac{a}$+3）
=3（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+10≥16，
（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{a}$，即a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，等號(hào)成立），
$\frac{ab}{2{a}^{2}+1}$=$\frac{ab}{2{a}^{2}+（a+b）^{2}}$
=$\frac{1}{3\frac{a}+\frac{a}+2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{3}+2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)3$\frac{a}$=$\frac{a}$，即a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，b=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立），
故答案為：16，$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．