Question

已知圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，圓心坐標(biāo)C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）
（1）求證：△AOB的面積為定值；
（2）直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點(diǎn)，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)圓的方程求出A，B的坐標(biāo)即可證明△AOB的面積為定值；
（2）根據(jù)直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M，N，結(jié)合|OM|=|ON|，建立條件關(guān)系即可，求圓C的方程；
（3）根據(jù)直線和圓相交以及點(diǎn)的對稱性即可得到結(jié)論．

解答： （1）證明：由題設(shè)知，圓C的方程為（x-t）²+（y-

2

t

^）2=t²+

4

t2

，
化簡得x²-2tx+y²-

4

t

y=0，
當(dāng)y=0時，x=0或2t，則A（2t，0）；
當(dāng)x=0時，y=0或

4

t

，則B（0，

4

t

），
∴S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

|2t|•|

4

t

|=4為定值．                        
解：（2）∵|OM|=|ON|，則原點(diǎn)O在MN的中垂線上，
設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，∴C、H、O三點(diǎn)共線，
則直線OC的斜率k=

2 t

t

=

2

t2

=

1

2

，
∴t=2或t=-2．
∴圓心為C（2，1）或C（-2，-1），
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5，
由于當(dāng)圓方程為（x+2）²+（y+1）²=5時，直線2x+y-4=0到圓心的距離d＞r，此時不滿足直線與圓相交，故舍去，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
（3）點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點(diǎn)為B′（-4，-2），
則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圓上點(diǎn)Q的最短距離為
|B′C|-r=

(-6)2+32

-

5

=3

5

-

5

=2

5

．
故|PB|+|PQ|的最小值為2

5

，直線B′C的方程為y=

1

2

x，
則直線B′C與直線x+y+2=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

4

3

，-

2

3

）．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．