Question

已知直線P₁P₂的斜率為k（k≠0），P₁、P₂的坐標分別為（x₁y₁）、（x₂y₂），求證：|P₁P₂|=

1+k2

|x2-x1|=

1+ 1 k2

|y2-y1|．

Answer 1

分析：由題意得直線的斜率k=

y2-y1

x2-x1

，再由兩點間的距離公式可得 |P1P2|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+( y2-y1 x2-x1 )2

|x2-x1|，將斜率k代入即可得證．

解答：證明：∵直線P₁P₂的斜率為k（k≠0），P₁、P₂的坐標分別為（x₁ ，y₁）、（x₂，y₂），則 k=

y2-y1

x2-x1

．
∴|P1P2|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+( y2-y1 x2-x1 )2

|x2-x1|=

1+k2

|x2-x1|．
∴|P1P2|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+( x2-x1 y2-y1 )2

|y2-y1|=

1+ 1 k2

|y2-y1|．
故|P₁P₂|=

1+k2

|x2-x1|=

1+ 1 k2

|y2-y1| 成立．

點評：本題考查直線的斜率公式，兩點間距離公式的應用，式子變形是解題的關鍵和難點．