Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P為雙曲線x²-2y²=1的右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線$\sqrt{2}$x-2y+2=0的距離大于t恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 先求出雙曲線的漸近線，結(jié)合直線和漸近線平行求出兩平行直線的距離即可得到結(jié)論．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即$\sqrt{2}$x-2y=0，則直線$\sqrt{2}$x-2y+2=0與漸近線平行，
兩平行線之間的距離d=$\frac{|2|}{\sqrt{2+4}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
若點(diǎn)P到直線$\sqrt{2}$x-2y+2=0的距離大于t恒成立，
則t≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即實(shí)數(shù)t的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，求出雙曲線以及平行直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．