Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若不等式|f（x）-m|≤2在x∈[0，π]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖形可確定A，b，求出函數的周期T，從而可得ω的值，再由f（

π

3

）=3，f（-

2π

3

）=-1，進一步結合條件可得φ的值；
（2）通過正弦函數的單調增區(qū)間直接求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．
（3）通過x的范圍，求出函數值的范圍，轉化不等式|f（x）-m|≤2，求出實數m的取值范圍，

解答：解：（1）由函數的圖象可知

A+b=3 -A+b=-1

，解得A=2，b=1，
∴函數f（x）=2sin（ωx+φ）+1．
T=2×[

π

3

+-(-

2π

3

)]=2π，∴ω=

2π

2π

=1．
由f（

π

3

）=3，可得2sin（1×

π

3

+φ）+1=3，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴函數f（x）的解析式：f（x）=sin（x+

π

6

）+1．
（2）令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
則2kπ-

2π

3

≤x≤

π

3

+2kπ，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[2kπ-

2π

3

，

π

3

+2kπ]，k∈Z．
（3）∵x∈[0，π]，∴x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，則sin（x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[0，3]，
不等式|f（x）-m|≤2?m-2≤f（x）≤m+2恒成立．
則需滿足：

m-2≤0 m+2≥3

，即1≤m≤2，
實數m的取值范圍：[1，2]

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）+b的部分圖象確定其解析式，難點在于相位φ的確定，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．