Question

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z₁=-8+5

3

i，z₂=-3，z₃=3所對應(yīng)的點為A、B、C，以A、B、C為頂點的三角形為△ABC
（Ⅰ）求∠B
（Ⅱ）求以B、C為焦點且過點A的雙曲線的方程．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,余弦定理,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出A、B、C的坐標(biāo)，
法一：|AB|=10，|BC|=6，|AC|=14，利用由余弦定理知cosB=

102+62-142

2×10×6

=-

1

2

，求出B．
法二：利用向量的數(shù)量積，結(jié)合B∈（0，π）求出B=

2

3

π．
（Ⅱ）由雙曲線的定義，求出a，b²，即可求雙曲線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知點A、B、C的坐標(biāo)分別為(-8，5

3

)，(-3，0)，(3，0)，…．（1分）
則
法一：|AB|=10，|BC|=6，|AC|=14…（3分）
所以由余弦定理知cosB=

102+62-142

2×10×6

=-

1

2

…（5分）
又B∈（0，π）所以B=

2

3

π…..（6分）
法二：

BA

=(-5，5

3

)，

BC

=(6，0)…（3分）
故cosB=

BA • BC

| BA | BC ||

=

-30

10×6

=-

1

2

…（5分）
又B∈（0，π）所以B=

2

3

π…（6分）
（Ⅱ）由雙曲線的定義可知2a=||AB|-|AC||=|10-14|=4…（9分）
故a=2，又c=3，∴b²=5…（11分）
所以所求雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

5

=1…（12分）

點評：本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，向量的數(shù)量積以及雙曲線方程的求法，考查計算能力．