Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2時取得極值，且圖象與直線y=-3x+3切于點P（1，0）．
（I）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（II）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，并求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最值及相應(yīng)x的值．

Answer 1

分析：（I）欲求函數(shù)的解析式，只需找到關(guān)于a，b，c的三個等式即可，因為函數(shù)f（x）在x=-2時取得極值，所以當(dāng)x=-2時，導(dǎo)數(shù)等于0，因為函數(shù)圖象與直線y=-3x+3切于點P（1，0）．所以當(dāng)x=1時，導(dǎo)數(shù)等于-3，原函數(shù)值等于0，這樣就得到關(guān)于a，b，c的三個等式，解出a，b，c即可．
（II）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，當(dāng)x小于0時，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間，增區(qū)間與減區(qū)間的分解處為極值點，比較函數(shù)的極大值與端點函數(shù)值，其中最大的為函數(shù)的最大值，比較函數(shù)的極小值與端點函數(shù)值，最小的為函數(shù)的最小值．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax+b，∵函數(shù)f（x）在x=-2時取得極值，∴f′（-2）=0
即12-4a+b=0①
∵函數(shù)圖象與直線y=-3x+3切于點P（1，0）．∴f′（1）=-3，f（1）=0
即 3+2a+b=-3②，1+a+b+c=0
由①②解得a=1，b=-8，c=6
∴f（x）=x³+x²-8x+6
（II）f′（x）=3x²+2x-8，令f′（x）＞0，解得，x＞

4

3

，或x＜-2
令f′（x）＜0，解得，-2＜x＜

4

3

，
∴函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，-2）和（

4

3

，+∞）
函數(shù)的減區(qū)間為（-2，

4

3

）
∴當(dāng)x=-2時，函數(shù)有極大值為18，當(dāng)x=

4

3

時，函數(shù)有極小值為-

14

27

又∵f（-3）=12，f（3）=18
∴當(dāng)x=

4

3

時，函數(shù)有最小值-

14

27

，當(dāng)x=-2或3時，函數(shù)有最大值18

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．