Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x²-y²=1右支上一個動點．若點P到直線x-y+2=0的距離大于t恒成立，則實數(shù)t的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線，利用漸近線和直線x-y+2=0平行，求出兩平行線之間的距離，利用不等式恒成立進(jìn)行求解即可．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=x或y=-x
y=x到平行直線x-y+2=0的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+1}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
則若點P到直線x-y+2=0的距離d＞$\sqrt{2}$，
∵d＞t恒成立，
則t≤$\sqrt{2}$，
即t的最大為$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求兩平行之間的距離是解決本題的關(guān)鍵．