Question

如圖，在四棱錐中，底面，， ，   ，是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）證明：平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值

Answer 1

（Ⅰ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．，平面．
而平面，．…………………………………………（4分）
（Ⅱ）證明：由，，可得．
是的中點(diǎn)，．由（Ⅰ）知，，且，所以平面．而平面，．
底面在底面內(nèi)的射影是，，．
又，綜上得平面．………………………………（8分）
（Ⅲ）解法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．則（Ⅱ）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．因此是二面角的平面角．由已知，得．設(shè)，
可得．
在中，，，
則．
在中，．所以二面角的正切值為．

(I)證明：即可.
(II)分別證明：即可.
(III)可以利用空間向量的知識(shí)直接求，也可以直接根據(jù)三垂線定理作出二面角的平面角解三角形即可