Question

三棱錐A-BCD中，ABD，BCD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且平面ABD⊥平面BCD，設(shè)M，N，P，Q分別為線(xiàn)段AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)．
（1）證明：四邊形MNPQ是矩形；
（2）求二面角A-NP-M的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）運(yùn)用中位線(xiàn)定理，證得四邊形MNPQ為平行四邊形，再取BD的中點(diǎn)H，連接AH，CH，運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和線(xiàn)面垂直的判定定理，即可得證；
（2）取AC的中點(diǎn)為K，連接BK，交NP于E，連接DK，交MQ于F，連接EF，由EF⊥NP，EK⊥NP證得∠FEK均為二面角A-NP-M的平面角，再由等邊三角形和面面垂直的性質(zhì)，計(jì)算出EF，EK，F(xiàn)K，由余弦定理即可得到結(jié)果．

解答： （1）證明由于M，N為AD，AB的中點(diǎn)，
則MN∥BD，MN=

1

2

BD，
由于P，Q為CB，CD的中點(diǎn)，
則PQ∥BD，PQ=

1

2

BD，
即有MN∥PQ，且MN=PQ，
則四邊形MNPQ為平行四邊形，
取BD的中點(diǎn)H，連接AH，CH，
由于三角形ABD和三角形CBD均為等邊三角形，
則AH⊥BD，CH⊥BD，
則BD⊥平面ACH，則BD⊥AC，
則由MN∥BD，MQ∥AC，
則MN⊥MQ，則四邊形MNPQ為矩形；
（2）解：取AC的中點(diǎn)為K，連接BK，交NP于E，
連接DK，交MQ于F，連接EF，
由于A(yíng)B=BC，則EK⊥NP，DK⊥AC，
則BD∥EF，EF⊥NP，
則有∠FEK均為二面角A-NP-M的平面角，
由E，F(xiàn)為中點(diǎn)，則EK=FK=

1

2

BK=

1

2

DK，
由于平面ABD⊥平面BCD，則由（1）知，AH⊥BD，
得到AH⊥平面BCD，則AH⊥CH，
則由ABD，BCD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
即有AH=CH=

3

，AC=

6

，BK=DK=

4- 6 4

=

10

2

，
則在三角形EFK中，EF=1，EK=FK=

1

2

BK=

10

4

，
則cos∠FEK=

1+ 10 16 - 10 16

2×1× 10 4

=

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線(xiàn)與平面垂直的判斷和性質(zhì)定理及運(yùn)用，考查面面垂直的性質(zhì)定理，以及空間二面角的求法，考查蘊(yùn)算能力，屬于中檔題．