Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且過點P(2，

2

)，設橢圓的右準線l與x軸的交點為A，橢圓的上頂點為B，直線AB被以原點為圓心的圓O所截得的弦長為

4 5

5

．
（1）求橢圓E的方程及圓O的方程；
（2）若M是準線l上縱坐標為t的點，求證：存在一個異于M的點Q，對于圓O上任意一點N，有

MN

NQ

為定值；且當M在直線l上運動時，點Q在一個定圓上．

Answer 1

分析：（1）由橢圓E的離心率為

2

2

，知a=2k，c=

2

k，b²=2k²，即橢圓E：

x2

4k2

+

y2

2k2

=1，把點P(2，

2

)代入得k²=2，由此能求出橢圓E方程和圓的方程．
（2）橢圓E的右準線l的方程為x=4．設l上取定的點M為（4，t），圓O上任意的一點N為（x0，y0），定點Q為（x，y）．因為NM與NQ的比是常數(shù)且Q不同于M，所以NQ2=λNM2，λ是正的常數(shù)（λ≠1），即（x0-x）2+（y0-y）2=λ（x0-4）2+λ（y0-t）2，即x2 0+y2 0-2xx0-2yy0+x2+y2=λ（x2 0+y2 0+16+t2-8x0-2ty0）．由此入手能夠導出點Q在圓心，0，半徑為的定圓上．定值為：

NM

NQ

=

16+t2

2

，Q在圓心(

1

2

，0)，半徑為

1

2

的定圓上．

解答：（1）解：∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，
∴a=2k，c=

2

k，b²=2k²，
∴橢圓E：

x2

4k2

+

y2

2k2

=1，
把點P(2，

2

)代入得k²=2，
∴橢圓E方程：

x2

8

+

y2

4

=1．
圓的方程：x²+y²=4
（2）證明：橢圓E的右準線l的方程為x=4．
　　設l上取定的點M為（4，t），圓O上任意的一點N為（x0，y0），定點Q為（x，y）．
　　因為NM與NQ的比是常數(shù)且Q不同于M，所以NQ2=λNM2，λ是正的常數(shù)（λ≠1），即（x0-x）2+（y0-y）2=λ（x0-4）2+λ（y0-t）2，即x2 0+y2 0-2xx0-2yy0+x2+y2=λ（x2 0+y2 0+16+t2-8x0-2ty0）．
　　將x2 0+y2 0=4代入，有-2xx0-2yy0+x2+y2+4=-8λx0-2λty0+（20+t2）λ．
　　又有無數(shù)組（x0，y0），從而x=4λ，①y=tλ，②x2+y2+4=（20+t2）λ．③
　　由①②代入③，得16λ2+t2λ2+4=（20+t2）λ，即（16+t2）λ2-（20+t2）λ+4=0，所以（λ-1）[（16+t2）λ-4]=0．
　　又因為λ≠1，所以λ=，即存在一個定點Q（不同于點M），使得對于圓O上的任意一點N，均有為定值．
　　將16+t2=代入③，得x2+y2+4=+4λ，即x2+y2=4λ，于是x2+y2=x，即x-2+y2=，故點Q在圓心，0，半徑為的定圓上．
定值為：

NM

NQ

=

16+t2

2

，Q在圓心(

1

2

，0)，半徑為

1

2

的定圓上

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．