Question

3．A、B兩島相距100海里，B在A北偏東30°方向，甲船A以50海里/小時(shí)的速度向B航行，同時(shí)，乙船從B以30誨里/小時(shí)的速度沿南偏東30°方向航行，則$1\frac{16}{49}$小時(shí)后兩船之間距離最小．

Answer 1

分析 設(shè)x小時(shí)后甲船到達(dá)C點(diǎn)，乙船到達(dá)D點(diǎn)，則BC=100-50x，BD=30x，由已知可得∠CBD=60°．由余弦定理得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos∠CBD，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，設(shè)x小時(shí)后甲船到達(dá)C點(diǎn)，乙船到達(dá)D點(diǎn)，
則BC=100-50x，BD=30x，由已知可得∠CBD=60°．
由余弦定理得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos∠CBD，
即CD²=（100-50x）²+（30x）²-2（100-50x）•30x•cos60°
=100（49x²-130x+100），
當(dāng)x=$\frac{130}{2×49}$=$\frac{65}{49}$時(shí)CD²最小，即CD最小
所以航行$1\frac{16}{49}$小時(shí)兩船之間距離最短，
故答案為：$1\frac{16}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵，屬于中檔題．