Question

（文）已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在x=1時取得極小值，求實數(shù)a的值；
（2）當時，求證：f（x）在（-1，1）內是減函數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵，
∴f'（x）=2x²-2ax-3
由…（4分）
又，x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，所以在f（x）在x=1時取得極小值，所以；
證明：（2）f'（x）=2x²-2ax-3是x的二次函數(shù)，
且對稱軸方程 ，∵，，∴-1＜2a＜1．
∴．…（8分）
∴f'（1）=2-2a-3=-2a-1＜0，f'（-1）=2+2a-3=2a-1＜0．…（10分）
∴f'（x）在（-1，1）內恒有f'（x）＜0．
∴f（x）在（-1，1）內是減函數(shù)． …（12分）
分析：（1）通過求函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，就是x=1時導數(shù)為0，求出a，利用極小值，驗證求出a，可得f（x）的解析式；
（2）要證：f（x）在（-1，1）內是減函數(shù)，只須證在（-1，1）內恒有f'（x）＜0，利用二次函數(shù)的性質即可以得證．
點評：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)恒成立問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，是中檔題．