Question

1．已知函數f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）與g（x）=x²+ln（x-a）的圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（-\sqrt{e}，+∞）$
• B． $（-\frac{1}{{\sqrt{e}}}，\sqrt{e}）$
• C． $（-\sqrt{e}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$
• D． $（-\frac{1}{{\sqrt{e}}}，+∞）$

Answer 1

分析 由題意可得，存在x＜0使f（x）=g（-x），即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解，從而化為函數m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）在（-∞，0）上有零點，從而求解．

解答 解：f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）與g（x）=x²+ln（x-a）的圖象上存在關于y軸對稱的點，
則等價為f（x）=g（-x），在x＜0時，方程有解，
即x²+e^x-$\frac{1}{2}$=x²+ln（-x-a），
即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解，
令m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a），
則m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）在其定義域上是增函數，
且x→-∞時，m（x）＜0，
若a≥0時，x→-a時，m（x）＞0，
故e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解，
若a＜0時，
則e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解可化為：
e⁰-$\frac{1}{2}$-ln（-a）＞0，
即ln（-a）＜$\frac{1}{2}$，
解得a＞-$\sqrt{e}$，
故選：A．

點評 本題考查函數與方程的應用，根據函數的圖象與方程的根及函數的零點之間的關系，進行轉化是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．