Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）與g（x）=x²+ln（x-a）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（-\sqrt{e}，+∞）$
• B． $（-\frac{1}{{\sqrt{e}}}，\sqrt{e}）$
• C． $（-\sqrt{e}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$
• D． $（-\frac{1}{{\sqrt{e}}}，+∞）$

Answer 1

分析 由題意可得，存在x＜0使f（x）=g（-x），即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解，從而化為函數(shù)m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）在（-∞，0）上有零點(diǎn)，從而求解．

解答 解：f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）與g（x）=x²+ln（x-a）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，
則等價(jià)為f（x）=g（-x），在x＜0時(shí)，方程有解，
即x²+e^x-$\frac{1}{2}$=x²+ln（-x-a），
即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解，
令m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a），
則m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）在其定義域上是增函數(shù)，
且x→-∞時(shí)，m（x）＜0，
若a≥0時(shí)，x→-a時(shí)，m（x）＞0，
故e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解，
若a＜0時(shí)，
則e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解可化為：
e⁰-$\frac{1}{2}$-ln（-a）＞0，
即ln（-a）＜$\frac{1}{2}$，
解得a＞-$\sqrt{e}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的圖象與方程的根及函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．