Question

20．已知函數(shù)f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））處的切線方程為y=2．
（1）求a，b的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：$\frac{ln2}{2}×\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}×…×\frac{lnn}{n}＜\frac{1}{n}（n≥2，n∈N）$．

Answer 1

分析 （1）將x=1代入函數(shù)表達(dá)式求出b的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線方程，求出a的值；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）由（1）可知當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx-x+3＜f（1）=2，即lnx＜x-1，（x＞1），所以當(dāng)x≥2時(shí)，$0＜\frac{lnx}{x}＜\frac{x-1}{x}$，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：因?yàn)閒（1）=-b+3=2，所以b=1；
又$f'（x）=\frac{x}+alnx+a-b=\frac{1}{x}+alnx+a-1$，
而函數(shù)f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））處的切線方程為y=2，
所以f'（1）=1+a-1=0，所以a=0；                           …（4分）
故f（x）=lnx-x+3，$f'（x）=\frac{1}{x}-1$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0；所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以f（x）有極大值f（1）=2，無(wú)極小值．…（6分）
（2）證明：由（1）可知當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx-x+3＜f（1）=2，即lnx＜x-1，（x＞1），
所以當(dāng)x≥2時(shí)，$0＜\frac{lnx}{x}＜\frac{x-1}{x}$，
所以$\frac{ln2}{2}＜\frac{1}{2}$，$\frac{ln3}{3}＜\frac{2}{3}$，$\frac{ln4}{4}＜\frac{3}{4}$，…，$\frac{lnn}{n}＜\frac{n-1}{n}$，
所以$\frac{ln2}{2}×\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}×…×\frac{lnn}{n}＜\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}$
即$\frac{ln2}{2}×\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}×…×\frac{lnn}{n}＜\frac{1}{n}（{n≥2，n∈{N}}）$．                    …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的證明，是一道中檔題．